2017年東南大學561概率論與數理統計考研復試核心題庫

●??摘要

一、計算題

1. 統計調查表明,英格蘭在1875年至1951年期間,在礦山發生10人或10人以上死亡的兩次事故之間的時間T (以日計)服從均值為241的指數分布. 試求P (50【答案】

2. 有一批電子產品共50臺,產銷雙方協商同意找出一個檢驗方案,使得當次品率拒絕的概率不超過0.05, 而當案.

【答案】此類檢驗問題的拒絕域為:受概率

滿足如下不等式組

由于批量N=50不太大,因此應該用超幾何分布計算接收概率L (p ):

通過編程搜索可以找到,當n=ll,c=l時,

c ),可以滿足要求,于是檢驗方案為(n ,它表示在抽取11件產品檢查其中的不合格品件數>1,則拒受該批產品,否則接受.

3. 假定考生成績服從正態分布,在某地一次數學統考中,隨機抽取了36位考生的成績,算得平均成績為66.5分,標準差為15分,問在顯著性水平0.05下,是否可以認為這次考試全體考生的平均成績為70分?

【答案】本題是關于正態總體均值的假設檢驗問題,由于總體方差未知,故用t 檢驗法,欲檢驗的一對假設為:

拒絕域為由已知條件因為著差異.

第 2 頁,共 27 頁

時,接受的概率不超過0.1,請你幫助找出適當的檢驗方

. 因此,本問題歸結為找出n 與c , 使得接

當顯著性水平為0.05時,

s=15, 故檢驗統計量的值為

故接受原假設,可以認為這次考試全體考生的平均成績與70分無顯

注:這里沒給出容量為36的樣本數據,只給出樣本均值與樣本標準差s. 由于與s 是正態分布

的充分統計量,而充分統計量是不會失落樣本中的有用信息,故給出與s 的值,等價

于給出具體的樣本數據. 這一現象會在很多場合里出現.

4. 設一批產品中一、二、三等品各占60%,35%,5%.從中任意取出一件,結果不是三等品,求取到的是一等品的概率.

【答案】記事件A 為“取出一件不是三等品”,B 為“取出一件一等品”,因為A=“取出一件不是三等品”=“取出的是一等品或二等品”

5. 設二維隨機變量(X , Y )在矩形

所以AB=B,于是所求概率為

. 上服從均勻分布, 記

求U 和V 的相關系數.

【答案】因為區域G 的面積為2, 所以(X , Y )的聯合密度函數為

因此(如圖)

這說明:又因為

所以U 和V 的相關系數為

6. 從一批鋼管抽取10根,測得其內徑(單位:mm )為:

第 3 頁,共 27 頁

所以

設這批鋼管內直徑服從正態分布(1)已知【答案】(1)當查表知

(2)未知.

試分別在下列條件下檢驗假設(

.

已知時,應采用檢驗,此時檢驗的拒絕域為若取

由樣本數據計算如下結果,

檢驗統計量未落入拒絕域中,應接受原假設,不能認為(2)當未知時,應采用t 檢驗,拒絕域為顯著性水

平s=0.4760,

7. 設X 和Y 是相互獨立的隨機變量, 且

求Z 的分布列.

【答案】因為X , Y 相互獨立, 所以其聯合密度函數為

查表

一其中檢驗統計量

由樣本觀測值計算

故接受原假設.

如果定義隨機變量Z

如下

由此得

8. 設

是來自U (-1, 1)的樣本, 試求

【答案】均勻分布U (—1, 1)的均值和方差分別為0和1/3, 該樣本容量為n , 因而得

二、證明題

9. 設二維隨機變量(X , Y )服從單位圓內的均勻分布, 其聯合密度函數為

試證:X 與Y 不獨立且X 與Y 不相關 【答案】先求邊際密度函數

第 4 頁,共 27 頁